向量是新教材改革增加的内容之一，近几年全国使用新教材的高考试题逐渐加大了对这部分内容的考查力度. 由于向量特有的“神(坐标形式)形(几何形式)兼备”这一特征，使向量及其平行、垂直的充要条件都有其坐标表示形式和几何表示形式，加之向量的的数量积不仅是一个实数，而且与向量的夹角及其余弦值紧密相关，使它必然成为沟通数学各主要分支（解析几何，立体几何，三角函数，数列，不等式等知识），加强数学知识之间横向联系的重要的桥梁和纽带，决定了向量必然成为支撑数学学科学知识体系的重点知识，从而构成数学试题的主体的重要知识板块之一.
从2004年全国各地的新课程高考数学试卷来看，向量与其它知识结合命题的知识已占全卷总分的20%，而且从形式看来，今后的命题更有分值加大的趋势，这里就向量的复习，谈谈自己的一些想法.
一、注重基础知识的学习，注意细节问题的区别
向量的考查要求主要是向量的性质和运算法则、基本运算技能以及和其他数学内容结合(几何知识和代数知识有机地结合)在一起，如可以和曲线、数列、不等式等基础知识结合，考查逻辑推理和运算能力等综合运用数学知识解决问题的能力 . 平面向量一般以选择题和填空题进行考查 . 而空间向量基本要求是根据题目特点建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，通过向量计算解决问题，一般利用解答题考查.
例1 （2004年湖北高考数学·理工第4题，文史第7题）已知，，为非零的平面向量. 甲：·=·，乙：=，则（ ）
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【分析】因为向量是有方向与大小的量，向量的的运算不能简单的归结为乘法除法运算，向量的运算有自己的规则：数量积，·=||·||cosθ，这里θ可能为９０°，所以不能推出=，但反过来是对的，所以答案是B.
【思维延伸】问题的解决取决于对向量基础知识的掌握情况. 向量作为新的工具引入，有自身的特点及运算性质，学生因为惯性思维常常把它等同一般的标量进行处理，主要是对向量还没有彻底的理解，还没有把向量作为一种工具熟悉起来，或者仅仅认为向量就是一种简单工具，而忽略对向量彻底的掌握. 所以，在高考复习中，必须注意向量基础知识的系统复习，对向量和其它知识有区别的地方尤要关注，因为这就是考试关注的焦点.
二、以解决问题为目的，设计向量复习目标
我们复习的目的是为了解决问题，以问题为中心设计复习目标，可以大大的提高复习效率 . 在特定的背景之下，利用向量作为工具，解决一些力所能及的问题，并且反过来提出一些问题自己解决，形成完整的知识链.
例2 如图，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ=，ＢＣ=ａ，又ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，ＰＡ=4 . ＢＣ上是否存在点Ｑ，使ＰＱ⊥ＱＤ？如果存在，求出当这样的点唯一的时候，异面直线ＡＱ与ＰＤ所成角的大小.
【分析】以、、为ｘ、ｙ、ｚ轴建立空间直角坐标系，则Ｂ(0，，0)，Ｃ(－ａ，，0)，Ｄ(－ａ，0，0)，Ｐ(0，0，4).
设Ｑ(ｔ，，0)， =(ｔ，，－4)，=(ｔ+ａ，，0)
∵ＰＱ⊥ＱＤ，∴·=ｔ (ｔ+ａ)0，即ｔ2+ａｔ+3=0
ＢＣ上存在唯一点Ｑ，使ＰＱ⊥ＱＤ，∴△=ａ2－12=0ａ=2，ｔ=－ =(－，，0) ，=(－2，0，－4) ∴ｃｏｓ(，)===，故异面直线ＡＱ与ＰＤ所成角为arccos．
【思维延伸】以问题为背景，通过解决问题的办法复习向量． 总结向量的知识，向量的方法，及与角有关的向量知识，再把它同问题联系起来，这样既复习了知识，又提高了解决问题的能力，通过解决问题还能大幅度提高学习的兴趣.
探索性，开放性问题是现在考试的一大方向，这个正好能反映课改的方向，给学生时间，给学生空间，给学生尝试的过程 . 简单的线面关系往往只有单一的思路或者是命制构思很巧妙的题目，学生想到了就做得出来，想不到就做不出来，这个和我们提倡的一切为了学生，学生是主体是相矛盾的，而向量恰好可以弥补这些缺点，既给学生探索的机会，又让学生很容易享受到成功的喜悦.
三、以向量的应用为主线，关注向量与其它知识点的交汇
向量的引入是为了解决问题，向量作为独特的工具与高中几乎所有的知识点都可以建立联系． 有时可以说，向量构成整个高中数学知识的一条中轴线（见图表），向量的应用就是与其它知识点的整合过程． 无论是函数，不等式，还是解析几何，平面几何，都可以与函数交叉整合命出好题． 从笔者分析近几年来的高考向量的命题情况来看，以向量作为背景知识与其它知识结合的题目均有出现，所以，在向量的复习过程中，必须注意与其它知识的整合，把向量的应用复习提到应有的高度上来，这里就向量与解析几何，向量与立体几何的问题稍展阐述．
1. 向量与解析几何问题
例3 （2003年天津市高考试题）已知常数ａ>0，向量ｃ=(0，ａ)，ｉ=(1，0)，经过原点O以ｃ+λｉ为方向向量的直线与经过定点Ａ?穴０，ａ?雪以ｉ－2λｃ为方向向量的直线相交于点Ｐ，其中λ∈Ｒ． 试问：是否存在两个定点Ｅ、Ｆ，使得|ＰＥ|+|ＰＦ|为定值． 若存在，求出Ｅ、Ｆ的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】∵ｉ=(1，0)，ｃ=(0，ａ)， ∴ｃ+λｉ=?穴λ，ａ?雪，ｉ－2λｃ＝?穴１，－2λａ?雪.因此，直线ＯＰ和ＡＰ的方程分别为λｙ=ａｘ和ｙ－ａ=－2λａｘ.
消去参数λ，得点Ｐ(ｘ，ｙ)的坐标满足方程ｙ(ｙ－ａ)=－ａ2ｘ2．
整理得+=1………………………①
因为ａ > 0，所以得：
（i） 当时ａ=，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点Ｅ和Ｆ；
（ii）当时0 < ａ <，方程①表示椭圆，焦点Ｅ(，)和Ｆ(－，)为合乎题意的两个定点；
（iii）当时ａ >，方程①也表示椭圆，焦点Ｅ和Ｆ为合乎题意的两个定点.
【思维延伸】深思：解析几何体现的的是用代数的方法研究几何问题，而向量正是与坐标系一一对应的，是联系方程与点的纽带，所以在各级各类考试中，选择向量作为背景，向量作为工具，向量作为平台来设计的问题，凸现了向量的实用价值. 在高三向量的复习中，在解析几何的处理过程中，不仅要强化向量的表述，还要在复习中利用向量寻找好解决解析几何问题的切入点.
2.向量与立体几何问题
实际上现行教材改动最大的地方，应该是在几何部分，尤其是在立体几何部分. 从2000年开始基本上都是两道立体几何题目，一个是要用传统的欧式几何的角度解决，一个是要从向量的角度处理. 近几年来总的感觉是需用向量的方法解的题目非常简单，用传统的点线面的办法解的题目难度要大一些. 现行的教材的理念是用向量诠释几何，用向量演绎空间，所以在复习的过程中，要注意向量在空间形式上的应用，特别是法向量、夹角在求立体几何中的“3角8距”中的运用要反复训练，举一反三，领悟向量处理立体几何问题的相关的方法与策略.
例4 （2003年全国新教材课程卷）如图，直三棱柱ＡＢＣ－Ａ1Ｂ1Ｃ1中，底面是等腰直角三角形，∠ＡＣＢ=90°，侧棱ＡＡ1=2，Ｄ、Ｅ分别是ＣＣ1与Ａ1Ｂ的中点，点Ｅ在平面ＡＢＤ上的射影是△ＡＢＤ的垂心Ｇ.
(Ⅰ)求Ａ1Ｂ与平面ＡＢＤ所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.
【分析】连结ＢＧ，则ＢＧ是ＢＥ在面ＡＢＤ的射影，即∠Ａ1ＢＧ是Ａ1Ｂ与平面ＡＢＤ所成的角.如图所示建立坐标系，坐标原点为Ｏ，设ＣＡ=2ａ，则Ａ(2ａ，0，0)，Ｂ(0，2ａ，0)，Ｄ(0，0，1)，Ａ1(2ａ，0，2)，Ｅ(ａ，ａ，1) ，Ｇ(，，).
∴=(，，)，=(0，－2ａ，1)，
∴·=－ａ2+=0，解得ａ=1.
∴=(2，－2，2)，=(，－，)，∴ｃｏｓ∠Ａ1ＢＧ=＝＝·Ａ1Ｂ .与平面ＡＢＤ所成角是arccos.
【思维延伸】这个问题如果采取点线面直接求解的办法，难度很大，这在当年的新旧教材的的考试中明显反映出来. 向量解决问题的直接好处体现得异常充分，学生比较容易找到落脚点，把空间的问题转化为代数问题，实际问题模型化，从向量的角度切入，可以有效地避开很多难点，所以在立体几何的复习中要切实把握好向量的学习.
四、以实际生活为平台，留心学科之间问题的涉及
向量的引入本身就是应用学生对矢量的理解而进行的． 向量是一种解决问题的特殊工具，在物理、化学、天文都有广泛的应用，所以向量成为学科之间联系的纽带． 现在因为特别重视学科之间的整合，重视对考生综合应用能力的考查，所以向量在理学学科的交汇上也时常成为命题的热点． 而现在的复习中往往忽略了这一点，所以在向量的复习过程中，结合介绍“向量”在几何、机械、航海、测量等方面的应用，培养把实际问题抽象成数学问题的能力，提高数学建模的能力，学会提出、分析、解决带有实际意义的或与相关学科（物理）、生产和日常生活中相关的数学问题，学会使用数学语言、数学概念表达问题，形成用数学的意识，进而达到全面提高学生复习效能的目的．
例5 设有一个质点位于Ｐ1 ( 1，3，2)处， 现有大小为200g， 方向向量为 (cos60°， cos60°， cos45°)的力作用于该点. 求该质点由Ｐ1位移到Ｐ2 ( 3， 4，2 +2)时，力所做的功(长度单位为cm).
【分析】设Ｐ1到Ｐ2的位移为，那么力所做的功为Ｗ = ·.
∵力的方向向量0= ( cos60°， cos60°，cos45°) = (，，) ，而 || = 200，且有=||0= 2000 . ∴ = (100，100，100)，又∵ = ( 3－1，4－3，－2 + 2 +2 ) = ( 2，1，2). ∴Ｗ=·=200+100+ 400=700.
【思维延伸】利用矢量与向量的等价性命题，确实成为向量命题的一个新的发展方向，需要学生具有两个学科的基本知识，这当然对于现在正在进行物理学习的学生来说不是一个太大的问题，但是在平时的复习训练中要重视，养成对此类问题的良好的分析处理习惯.
